Fórmula del interés compuesto

La fórmula completa, variable por variable

La forma general del interés compuesto, sin aportaciones adicionales, es:

A = P × (1 + r/n)^(n × t)

Donde:

• A: el monto final (lo que llamamos "saldo final" en la calculadora).
• P: el capital inicial (principal) que depositas al empezar.
• r: la tasa de interés anual, expresada como decimal (una tasa del 12% se escribe como 0,12).
• n: el número de periodos de capitalización por año (1 para anual, 2 para semestral, 4 para trimestral, 12 para mensual, 365 para diaria).
• t: el plazo total, expresado en años.

Fórmula sin aportaciones: el caso simple

Cuando solo hay un depósito inicial y no se agrega dinero después, basta con aplicar la fórmula tal cual. Por ejemplo, con un capital de $50,000 MXN, una tasa anual del 12% (r = 0,12), capitalización mensual (n = 12) y un plazo de 10 años (t = 10):

A = 50 000 × (1 + 0,12/12)^(12 × 10) = 50 000 × (1,01)^120 = 50 000 × 3,300387 = $165,019.34 MXN

El interés generado es simplemente A menos el capital inicial: $165,019.34 − $50,000 = $115,019.34 MXN. Puedes comprobar este mismo resultado escribiendo esos valores en la calculadora de interés compuesto.

Fórmula con aportaciones periódicas

Cuando además del capital inicial se agregan aportaciones periódicas (por ejemplo, un depósito mensual constante), el saldo final es la suma de dos partes: el capital inicial creciendo por su cuenta, más el valor futuro de la serie de aportaciones (una anualidad ordinaria, es decir, aportaciones al final de cada periodo):

A = P × (1 + r/n)^(n×t) + c × [ ((1 + r/n)^(n×t) − 1) / (r/n) ]

Donde c es el monto de la aportación en cada periodo de capitalización. Si tu aportación es mensual pero la capitalización es, por ejemplo, trimestral, primero hay que convertir la aportación mensual a un monto por periodo: c = aportación mensual × (12 / n).

Continuando el ejemplo anterior, agregando una aportación de $1,000 MXN al mes ($1,000 por periodo, ya que n = 12 es mensual): la parte del capital inicial sigue dando $165,019.34 MXN, y la parte de las aportaciones aporta $230,038.69 MXN adicionales, para un total de $395,058.03 MXN. El total aportado (capital inicial más 120 aportaciones de $1,000) fue de $170,000 MXN, así que el interés generado en este escenario es de $225,058.03 MXN.

Cómo despejar la tasa de interés

Si ya sabes cuánto creció tu dinero y en cuánto tiempo, pero no conoces la tasa exacta, puedes despejar r de la fórmula sin aportaciones. Partiendo de A = P × (1 + r/n)^(n×t), despejando paso a paso:

1. Divide ambos lados entre P: A/P = (1 + r/n)^(n×t)
2. Aplica la raíz (n×t)-ésima a ambos lados: (A/P)^(1/(n×t)) = 1 + r/n
3. Resta 1: (A/P)^(1/(n×t)) − 1 = r/n
4. Multiplica por n para obtener la tasa anual: r = n × [ (A/P)^(1/(n×t)) − 1 ]

Cómo despejar el tiempo

Si conoces el capital, la tasa y el saldo final que quieres alcanzar, pero necesitas saber cuánto tiempo tomará, se despeja t usando logaritmos. Partiendo de nuevo de A = P × (1 + r/n)^(n×t):

1. Divide ambos lados entre P: A/P = (1 + r/n)^(n×t)
2. Aplica logaritmo natural a ambos lados: ln(A/P) = n×t × ln(1 + r/n)
3. Despeja t: t = ln(A/P) / [ n × ln(1 + r/n) ]

Ejemplo numérico completo, paso a paso

Supongamos que quieres saber cuánto tiempo (t) necesitas para que $20,000 MXN, a una tasa anual del 9% capitalizada mensualmente, lleguen a $40,000 MXN (es decir, que se dupliquen), sin aportaciones adicionales.

Datos: P = 20 000, A = 40 000, r = 0,09, n = 12.

t = ln(40 000 / 20 000) / [ 12 × ln(1 + 0,09/12) ] = ln(2) / [ 12 × ln(1,0075) ] = 0,693147 / (12 × 0,007472) = 0,693147 / 0,089667 ≈ 7,73 años.

Puedes verificar este resultado escribiendo capital $20,000, tasa 9%, plazo 7,73 años y frecuencia mensual en la calculadora de interés compuesto: el saldo final debe salir muy cercano a $40,000 MXN.

Errores comunes al aplicar la fórmula

Al aplicar esta fórmula a mano, los errores más frecuentes son:

• Olvidar dividir la tasa entre n. r es la tasa anual; si la capitalización es mensual hay que usar r/12 dentro de cada periodo, nunca r completa.
• Confundir el exponente n×t con solo t. El número de veces que se capitaliza el interés es el número de periodos totales (n×t), no el número de años.
• Usar la tasa en porcentaje en vez de en decimal. 12% debe escribirse como 0,12 en la fórmula, no como 12.
• Aplicar la aportación con la frecuencia equivocada. Si aportas cada mes pero la capitalización es trimestral, hay que convertir la aportación mensual a un monto por trimestre antes de usarla en la fórmula, como se explica en la sección de aportaciones periódicas.